已知f(x)＝14x+m(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)＝12．
1个回答
解题思路：（1）根据题意，取，取
x
1
＝
x
2
＝
1
2
求得f（[1/2]）的值，进而根据函数解析式求得m的值．进而把m代入函数解析式求得f（x1）+f（x2）=[1/2]恒成立，进而可知m的值．
（2）
a
n
＝f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n
n
)
，
a
n
＝f(
n
n
)+f(
n−1
n
)+f(
n−2
n
)++f(
0
n
)
两式，根据已知条件求得
2
a
n
＝
n+1
2
，进而求得an．
（1）依题意，取x1＝x2＝
1
2得f(
1
2)＝
1
4，
即
1
4+m＝
1
4，所以m=2．
当m=2时，∀x1、x2∈R，x1+x2=1，
有f(x1)+f(x2)＝
1
4x1+2+
1
4x2+2═
4+(4x1+4x2)
4x1+x2+2(4x1+4x2)+4＝
1
2，
所以m=2．
（2）an＝f(
0
n)+f(
1
n)+f(
2
n)++f(
n
n)，an＝f(
n
n)+f(
n−1
n)+f(
n−2
n)++f(
0
n)
两式相加，并由已知得2an＝
n+1
2，
所以an＝
n+1
4．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；函数恒成立问题；数列递推式．
考点点评： 本题主要考查了恒等、定值问题，倒序相加求数列通项，考查了学生综合运用所学知识的能力．
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