已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=[1/2]OB．

已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=[1/2]OB．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

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解题思路：（1）求证：AB是⊙O的切线，可以转化为证∠OAB=90°的问题来解决．本题应先说明△ACO是等边三角形，则∠O=60°；又AC=[1/2]OB，进而可以得到OA=AC=[1/2]OB，则可知∠B=30°，即可求出∠OAB=90°．

（2）作AE⊥CD于点E，CD=DE+CE，因而就可以转化为求DE，CE的问题，根据勾股定理就可以得到．

（1）证明：如图，连接OA；

∵OC=BC，AC=[1/2]OB，

∴OC=BC=AC=OA．

∴△ACO是等边三角形．

∴∠O=∠OCA=60°，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B，

又∠OCA为△ACB的外角，

∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，

∴∠B=30°，又∠OAC=60°，

∴∠OAB=90°，

∴AB是⊙O的切线；

（2） 作AE⊥CD于点E，

∵∠O=60°，

∴∠D=30°．

∵∠ACD=45°，AC=OC=2，

∴在Rt△ACE中，CE=AE=

2；

∵∠D=30°，

∴AD=2

2，

∴DE=

3AE=

6，

∴CD=DE+CE=

6+

2．

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