等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AC上,且BD=1/3BC,CE=1/3CA,AD,BE相交于点P,求证：AP垂
1个回答
我的证明有些笨拙,希望您能耐心看完.
取AB上一点F,使3AF=AB,这样就形成了十分对称的图形,
设BE与CF交于M,AD与CF交于N.
第一步,
∠PNM
=∠PAC+∠FCA
=∠PAC+∠BAD
=∠BAC
=60度.
第二步,
过F作FG//AC交BE于G,
则GM/ME
=FM/MC
=FG/EC
=FG/[(1/2)AE]
=4/3,
又FG/AE
=BG/BE
=2/3,
所以BM/ME
=[2+(4/7)]/[1-(4/7)]=6,
即BM=6ME.
又BP/PE
=MC/MF
=3/4,
所以容易得BP:PM:ME=3:3:1,
根据图形的对称性,得
CM:MN:NF=3:3:1,
并且MN=PN,
所以
PN:NC=3:(3+3)=1:2,
又∠PNC=60度,
所以可以得到
∠APC=90度.
即AP⊥PC.
得证.
这个方法确实比较笨拙,但希望你能看懂理解.
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