已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．
1个回答
（1）令a=b=0，则f（0）=0；令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0…（3分）
（2）∵f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），
再令a=-1，b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1）=0⇒f（-1）=0，
故f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数…（7分）
（3）当ab≠0时，
f(ab)
ab =
f(a)
a +
f(b)
b
令 g(x)=
f(x)
x ，即f（x）=xg（x），则g（ab）=g（a）+g（b）⇒g（a n）=ng（a）
故f（a n）=a ng（a n）=na ng（a）=na n-1•ag（a）=na n-1f（a） ⇒
f( a n )
n = a n-1 f(a) ，
故
f( 2 -n )
n =(
1
2 ) n-1 f(
1
2 ) ，∵ f(1)=f(2×
1
2 )=2f(
1
2 )+
1
2 f(2)=2f(
1
2 )+1=0 ，∴ f(
1
2 )=-
1
2 ，
由
f( 2 -n )
n ＞-
1
8 (n∈ N * )⇔ (
1
2 ) n-1 f(
1
2 )＞-
1
8 ⇔ (
1
2 ) n ＜
1
8 ⇔ n＞3
故符合题意的最小正整数n的值为4．…（12分）
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