过点O分别作OM⊥BC于点M,作ON⊥CD于点N.由题意可知,OS⊥面ABCD,则以O为原点,OM,ON,OS为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系
由题意可知,OM=3,ON=2
所以O(0,0,0),S（0,0,3）,A(-1,-2,0),B(3,-2,0),C(3,2,0),D(-1,2,0)
（1）证：由上可知,向量SA=(-1,-2,-3)
∵P,E分别是SC,SD中点
∴P(3/2,1,3/2),E(-1/2,1,3/2)
∴向量EO=(1/2,-1,-3/2),向量PO=(-3/2,-1,-3/2)
设平面POE的一个法向量为n1=(x,y,z),则
向量EO×n=1/2x-y-3/2z=0；向量PO×n1=-3/2x-y-3/2z=0
令z=2,可得y=-3,x=0,则n1=(0,-3,2)
从而,向量SA×n1=0+6-6=0
则向量SA⊥法向量n1,即向量SA//平面POE
∴SA//平面POE
2、由（1）可知向量OP=(3/2,1,3/2),向量SB=(3,-2,-3),向量SC=C(3,2,-3)
设平面SBC的一个法向量为n2=(x,y,z),则
向量SB×n=3x-2y-3z=0,向量SC×n=3x+2y-3z=0
令x=1,可得y=0,z=1,则n2=(1,0,1)
设OP与平面SBC所成角为θ
则sinθ=cos=向量OP×n2/(|向量OP||向量n2|)=3根号11/11
3、设点C到平面OPB距离为d,则VC-OPB=1/3×d×S△OPB
∵P是SC中点,∴P到底面ABCD距离为1/2SO=3/2
而VC-OPB=VP-OBC=1/3×3/2×S△OBC=1/3×3/2×1/2×3×4=3
而由1、2可知,向量OB=B(3,-2,0),向量OP=(3/2,1,3/2),向量BP=(-3/2,3,3/2)
则OB=|向量OB|=根号13,OP=|向量OP|=根号22/2,BP=|向量BP|=3根号6/2
且cos∠BOP=cos=5/(根号13×根号22)
∴sin∠BOP=3根号29/(根号13×根号22)
∴S△OPB=1/2×OB×OPsin∠BOP=3根号29/4
∴点C到平面OPB距离为d=3VC-OPB/S△OPB=9/(3根号29/4)=12根号29/29
