已知A,B,C是椭圆W:x^/4+y^2=1上的三个点,O是坐标原点,当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否为矩形
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A,B,C是椭圆W:x^2/4+y^2=1①上的三个点,O是坐标原点,若四边形OABC为矩形,则

OA⊥OC,

设OA:y=kx,k>0,代入①*4,得(1+4k^2)x^2=4,

取x=2/√(1+4k^2),得A(2/√(1+4k^2),2k/√(1+4k^2)),

以-1/k代k,得C(2k/√(k^2+1),-2/√(k^2+4)),

由向量OA+OC=OB得B(2/√(1+4k^2)+2k/√(k^2+4),2k/√(1+4k^2)-2/√(k^2+4)),

点B在椭圆W上,

∴[2/√(1+4k^2)+2k/√(k^2+4)]^2+4[2k/√(1+4k^2)-2/√(k^2+4)]^2=4,

∴（4+16k^2)/(1+4k^2)+(4k^2+16)/(k^2+4)-24k/√[（1+4k^2)(k^2+4)]=4,

化简得√[（1+4k^2)(k^2+4)]=6k,

平方得4k^4-19k^2+4=0,

k^2=(19土3√33)/8,k>0,

解得k=√(36土6√33)/4.②

若B是椭圆的顶点,易知xB>0,故yB=0,k√(k^2+4)=√(1+4k^2),

平方得k^4+4k^2=1+4k^2,k^4=1,k^2=1,k=1.

∴②成立时B不是椭圆的顶点,即存在满足题设的矩形OABC.

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