已知函数f(x)＝ax+bx2+1在点（-1，f（-1））的切线方程为x+y+3=0．
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解题思路：（I）首先求出f（1）的值，进而得出b-a=-4，然后求出函数的导数，求出f'（-1）=[b/2]=-1，就可以求出a、b的值，得出函数的解析式；
（II）将不等式整理得出（x2+1）lnx≥2x-2，问题转化成x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，然后设h（x）=x2lnx+lnx-2x+2，并求出h'（x），得出x≥1时h'（x）≥0，可知h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而求出h（x）的最小值，得出结果．
（Ⅰ）将x=-1代入切线方程得y=-2
∴f(−1)＝
b−a
1+1＝−2，化简得b-a=-4．…（2分）
f′(x)＝
a(x2+1)−(ax+b)•2x
(1+x2)2f′(−1)＝
2a+2(b−a)
4＝
2b
4＝
b
2＝−1． …（4分）
解得：a=2，b=-2
∴f(x)＝
2x−2
x2+1． …（6分）
（Ⅱ）由已知得lnx≥
2x−2
x2+1在[1，+∞）上恒成立
化简得（x2+1）lnx≥2x-2
即x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立． …（8分）
设h（x）=x2lnx+lnx-2x+2，h′(x)＝2xlnx+x+
1
x−2
∵x≥1∴2xlnx≥0，x+
1
x≥2，即h'（x）≥0．…（10分）
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立． …（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查了利用导数研究某点的切线方程以及函数恒成立问题，关于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．
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