设随机变量X的概率密度为f(x)=1/2e^(-|x|),-∞
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E(x)=∫(-∞,+∞)f(x)xdx=∫(0,+∞)x*e^(-x)dx=1
E(X²)=∫(-∞,+∞)f(x)x²dx=∫(-∞,+∞)1/2x²e^(-x²)dx
设Y~N(0,1)
E(Y²)=D(Y)+E(Y²)=1
E(Y²)=∫(-∞,+∞)1/(√2π)y²e^(-y²/2)dy
换元x=y/√2
E(Y²)=∫(-∞,+∞)1/(√π)2x²e^(-x²)dx=1
∫(-∞,+∞)1/2x²e^(-x²)dx=√π=E(X²)
D(X)=E(X²)-E²(X)=√π-1
对概率密度函数积分就可以得到分布函数,
当x=0时,
f(x)=1/2*e^(-x)
故分布函数
F(x)
=F(0)+ ∫(上限x,下限0) 1/2 *e^(-x) dx
=F(0) - 1/2 *e^(-x) [代入上限x,下限0]
=F(0) - 1/2 *e^(-x) +1/2
而F(0)=1/2
故F(x)=1 -1/2 *e^(-x)
所以
F(x)= 1 -1/2 *e^(-x) x>=0
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