如图,直角坐标系,A点是第二象限一点,AB⊥x轴于B,且C(0,2)是y轴正半轴上一点,OB-OC=2,S四边形ABOC=11.
(1)求A点坐标;
(2)设D为线段OB上一动点,当∠COE=∠A时,CD与AC之间存在怎样的位置关系,并证明;
(3)当D点在线段OB上运动时,作DE⊥CD交于AB于E,∠BED和∠DCO的平分线交于M,现给出两个结论:
①∠M的大小不变;
②∠BED+∠CDO的大小不变.
其中只有一个结论正确,请你判断哪个结论正确,并说明理由.
解题思路:(1)由C点坐标得到OB=2+OC=4,则B点坐标为(-4,0),设A点坐标为(-4,b),根据梯形的面积公式得到[1/2](2+b)•4=11,解得b=[7/2],则A点坐标为(-4,[7/2]);
(2)作CH⊥AB于H,如图1,证明Rt△OCD∽Rt△HCA,理由相似比即可得到[CD/AC]=[OC/CH]=[2/4]=[1/2];
(3)如图2,连结EC,根据角平分线的定义得∠1=∠2,∠3=∠4,由DE⊥DC得到∠EDC=90°,则∠BDE+∠CDO=90°,利用等角的余角相等得到∠BED=∠CDO,可判断②错误;得到∠1+∠2+∠3+∠4=90°,所以∠3+∠2=45°,在△MEC中,根据三角形内角和定理得到∠M+∠3+∠2+∠DEC+∠DCE=180°,于是可计算出∠M=45°.
(1)∵C(0,2),OB-OC=2,
∵OB=2+OC=2+2=4,
∴B点坐标为(-4,0),
设A点坐标为(-4,b),
∴[1/2](2+b)•4=11,解得b=[7/2],
∴A点坐标为(-4,[7/2]);
(2)CD=[1/2]AC.理由如下:
作CH⊥AB于H,如图1,
∴∠CDO=∠A,
∴Rt△OCD∽Rt△HCA,
∴[CD/AC]=[OC/CH]=[2/4],
即CD=[1/2]AC;
(3)结论①正确.理由如下:
如图2,连结EC,
∵∠BED和∠DCO的平分线交于M,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵DE⊥DC,
∴∠EDC=90°,
∴∠BDE+∠CDO=90°,
∴∠BED=∠CDO,所以②错误;
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,
∴∠3+∠2=45°,
在△MEC中,∠M+∠3+∠2+∠DEC+∠DCE=180°,
∴∠M=180°-90°-45°=45°,
即∠M的大小不变.
点评:
本题考点: 坐标与图形性质;三角形的面积;三角形内角和定理;三角形的外角性质.
考点点评: 本题考查了坐标与图形性质:利用点的坐标求线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系.也考查了相似的判定与性质和三角形内角和定理.
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