解题思路：方法一：使用余弦定理，由已知求出
b＝
2ac
a+c
，计算cosB=
a
2
+
c
2
−
b
2
2ac
的符号，进而可求B的范围
方法二：反证法，假设
B≥
π
2
，则 b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0，结合已知进行推导可求
方法三：反证法由题意可得[2/b]=[1/a+
1
c]，故b边不是最大边，也不是最小边．假设B≥[π/2]，则最大边所对的角大于 [π/2]，这与三角形内角和相矛盾，从而可得
方法一：由题意可得 [1/a+
1
c＝
2
b]．
∴b＝
2ac
a+c，
∵a2+c2−b2＝a2+c2−(
2ac
a+c)2≥2ac−
4a2c2
(a+c)2=2ac(1−
2ac
(a+c)2)≥2ac(1−
2ac
4ac)＞0．
即cosB=
a2+c2−b2
2ac＞0
故 B＜
π
2
法2：反证法：假设 B≥
π
2
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则 [1/b＜
1
a，
1
b＜
1
c]
可得 [2/b＜
1
a+
1
c]与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．
（法三）∵△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，
∴[2/b]=[1/a+
1
c]，故b边不是最大边，也不是最小边．
若B≥[π/2]，则最大边所对的角大于 [π/2]，这与三角形内角和相矛盾，故 B＜
π
2．
点评：
本题考点： 余弦定理；等差数列的性质．
考点点评： 本题主要考查了利用余弦定理解三角形，其中方法一 使用余弦定理直接求解，方法二、三，使用反证法，方法二，三比较简单．
1年前
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