已知两个三角形的两组边对应相等,且这两边的夹角的角平分线对应相等,求证这两个三角形全等.时间紧迫,请高手们不要迟疑了啊,
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证明：
首先我们证明角平分线定理（BD/DC=AB/AC）,等会会用到.
如图1,过D作DE‖AC交AB于E,易知∠ADE=∠DAC
又AD平分∠BAC,故∠EAD=∠DAC,从而∠EAD=∠ADE
故△AED为等腰△,所以AE=DE
又易证：△EBD∽△ABC,故BD/DC=BE/AE=BE/DE=AB/AC
即：BD/DC=AB/AC
用同样的方法可证角平分线的另一个定理：AD^2=AB•AC-BD•DC
下面具体证明两三角形相似（如图2,3）
由角平分线定理有BD/DC=AB/AC,B1D1/D1C1=A1B1/A1C1
又AB=A1B1,AC=A1C1,从而BD/DC= B1D1/D1C1
即：BD•D1C1=B1D1•DC…①
又AD^2=AB•AC-BD•DC,A1D1^2=A1B1•A1C1-B1D1•D1C1
从而：BD•DC= B1D1•D1C1…②
①式除②式D1C1/ DC= DC/ D1C1,DC^2= D1C1^2
从而DC=D1C1,同理有BD=B1D1
故BC=BD+DC=B1D1+D1C1=B1C1
从而△ABC≌△A1B1C1(SSS)
另外用反证法最简单不过了.
假设两个三角形不全等 ,推出交角平分线也不相等（同样利用角平分线定理） ,与已知条件相违背 从而得证!
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