（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交

（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF=EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求[EF/EG]的值．

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解题思路：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；

（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；

（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，

∴∠DEF=∠GEB，

在△FED和△GEB中，

∠DEF=∠GEB

ED=EB

∠D=∠EBG，

∴Rt△FED≌Rt△GEB，

∴EF=EG；

（2）成立．

证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，

∵四边形ABCD为正方形，

∴CE平分∠BCD，

又∵EH⊥BC，EP⊥CD，

∴EH=EP，

∴四边形EHCP是正方形，

∴∠HEP=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，

∴∠PEF=∠GEH，

∴Rt△FEP≌Rt△GEH，

∴EF=EG；

（3）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，

则∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD．

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴[NE/AD=

CE

CA]，[EM/AB=

CE

CA]，

∴[NE/AD=

EM

AB]，即[EN/EM=

AD

AB]=[CB/AB]=[b/a]，

∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，

∴∠GEM=∠FEN，

∵∠GME=∠FNE=90°，

∴△GME∽△FNE，

∴[EF/EG=

EN

EM]，

∴[EF/EG=

b

a]．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．

考点点评： 此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．

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