解答以下线性代数题设A为三阶矩阵,有三个不同的特征a1,a2,a3,b1,b2,b3依次是属于特征值a1,a2,a3的特

解答以下线性代数题

设A为三阶矩阵,有三个不同的特征a1,a2,a3,b1,b2,b3依次是属于特征值a1,a2,a3的特征向量,令x=a1+a2+a3.若A*A*A*x=Ax.求A得特征值并计算行列式|2A-3E|

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因为对任意x都有 (A^3-A)x=0

所以 A^3-A=0

设λ是A的特征值

则 λ^3-λ 是 A^3-A=0 的特征值

所以λ^3-λ=0

所以 λ(λ-1)(λ+1) = 0

所以 A 的特征值只能是 0,1,-1

由已知A有3个不同特征值,故A的特征值为 0,1,-1

所以 2A-3E 的特征值为 -3,-1,-5

所以 |2A-3E| = (-3)(-1)(-5) = -15.

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