（2012•石家庄一模）已知函数f（x）=2ex1+ax2（e为自然对数的底数）．

（2012•石家庄一模）已知函数f（x）=

2

e

x

1+

ax

2

（e为自然对数的底数）．

（I ）若函数f（x）有极值，求实数a的取值范围；

（II）若a=1，m＞4（ln2-1），求证：当x＞0时，f（x）＞

2

x

2

−mx+2

1+

x

2

．

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解题思路：（Ⅰ）求导函数可得

f′(x)＝

2

e

x

(1+a

x

2

−2ax)

(1+

ax

2

)

2

，函数f（x）有极值，需方程1+ax2-2ax=0在x∈R上有两个不等实根，从而可求实数a的取值范围；

（Ⅱ）f（x）-

2

x

2

−mx+2

1+

x

2

=

2

e

x

−2

x

2

+mx−2

1+

x

2

，设h（x）=2ex-2x2+mx-2，证明h（x）在（0，+∞）上单调递增，即可证得结论．

（Ⅰ）由f（x）=

2ex

1+ax2，可得f′(x)＝

2ex(1+ax2−2ax)

(1+ax2)2，…．（2分）

依题意，需方程1+ax2-2ax=0在x∈R上有两个不等实根，

则：

a≠0

△＝4a2−2a＞0，…（4分）

解得：a＞1或a＜0．…（5分）

（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=

2ex

1+x2，

∴f（x）-

2x2−mx+2

1+x2=

2ex−2x2+mx−2

1+x2，

设h（x）=2ex-2x2+mx-2，∴h′（x）=2ex-4x+m，

设g（x）=2ex-4x+m（x＞0），g′（x）=2ex-4，…（7分）

令g′（x）＜0，则0＜ln2；令g′（x）＞0，则x＞ln2；

∴函数g（x）在（0，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，

∴g（x）min=g（ln2）=4-4ln2+m，

∴h′（x）≥4-4ln2+m，…（9分）

∵m＞4（ln2-1），∴h′（x）≥4-4ln2+m＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，

∵h（0）=0，

∴h（x）＞0，…（11分）

∵1+x2＞0，∴

2ex−2x2+mx−2

1+x2＞0，

∴f（x）-

2x2−mx+2

1+x2=

2ex−2x2+mx−2

1+x2＞0，

即f（x）＞

2x2−mx+2

1+x2．…（12分）

点评：

本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式的证明，考查函数思想的运用，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．

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