设抛物线y^2=2px的焦点是F,A,B是抛物线上互异的两点,直线AB与X轴不垂直,线段AB的垂直平分线交X轴于点D
1个回答
∵A、B都在抛物线y^2＝2px上,
∴可设A、B的坐标分别为（A^2/（2p）,A）、（B^2/（2p）,B）.
∴AB的斜率＝（A－B）/［A^2/（2p）－B^2/（2p）］＝2p/（A＋B）.
AB的中点坐标为（（A^2＋B^2）/（4p）,（A＋B）/2）.
∴AB的垂直平分线方程为：
y－（A＋B）/2＝－［（A＋B）/（2p）］［x－（A^2＋B^2）/（4p）］.······①
令①中的y＝0,得：1＝（1/p）［x－（A^2＋B^2）/（4p）］,
∴x/p＝1＋（A^2＋B^2）/（4p^2）,∴x＝p＋（A^2＋B^2）/（4p）.
∴a＝p＋（A^2＋B^2）/（4p）,∴2a＝2p＋（A^2＋B^2）/（2p）.
由抛物线y^2＝2px,得：抛物线的准线方程为x＝－p/2.
分别过A、B作x＝－p/2的垂线,垂足分别为C、D.
显然有：｜AC｜＝A^2/（2p）＋p/2、｜BD｜＝B^2/（2p）＋p/2,
∴｜AC｜＋｜BD｜＝（A^2＋B^2）/（2p）＋p.
由抛物线定义,有：｜AF｜＝｜AC｜、｜BF｜＝｜BD｜,
∴｜AF｜＋｜BF｜＝｜AC｜＋｜BD｜＝（A^2＋B^2）/（2p）＋p.
∴m＝｜向量AF｜＋｜向量BF｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（A^2＋B^2）/（2p）＋p.
于是：p＋m＝p＋［（A^2＋B^2）/（2p）＋p］＝2p＋（A^2＋B^2）/（2p）＝2a,
∴a是p、m的等差中项.
相关问题
