解题思路：（1）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：1°当k 为奇数时；2°当k 为偶数时；分别得出导数值为正或负时的x的取值集合，最后综合即可；
（2）当k为奇数时，f′（x）=2（x+[1/x]），要证（1+bn）
1
b
n+1
＞e，即证（1+[1/n]）n+1＞e，两边取对数，即证ln（1+[1/n]）＞[1/n+1]，设1+[1/n]=t，构造函数g（t）=lnt+[1/t]-1，利用导数工具研究其单调性即可证得lnt＞1-[1/t]，最后利用累乘法即可证出S2012-1＜ln2012．
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）k[1/x]，
1°当k 为奇数时，f′（x）=2x+[2/x]，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°当k 为偶数时，f′（x）=
2(x+1)(x−1)
x，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
综上所述，当k 为奇数时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当k 为偶数时，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
（2）当k为奇数时，f′（x）=2（x+[1/x]），
∴bn=[1/2]f′（n）-n=[1/n]，Sn=1+[1/2]+[1/3]+…+[1/n]
要证（1+bn）
1
bn+1＞e，即证（1+[1/n]）n+1＞e，两边取对数，
即证ln（1+[1/n]）＞[1/n+1]
设1+[1/n]=t，则n=[1/t−1]，
lnt＞1-[1/t]（t＞1），构造函数g（t）=lnt+[1/t]-1，
∵x＞1，∴g′（t）=[1/t]-[1
t2＞0
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，g（t）＞g（1）＞0
即lnt＞1-
1/t]，∴（1+bn）
1
bn+1＞e，
S2012-1=（1+[1/2]+[1/3]+…+[1/2012]）-1=[1/2]+
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的加法与减法法则．
考点点评： 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
