一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B，按照某种运算程序：
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解题思路：由已知可得，该程序的功能是计算并输出满足条件：①a1=[1/3]②
a
n
＝
a
n−1
2(n−1)−1
2(n−1)+3
的数列第n项an的值．模拟程序的运行过程，依次计算出数列的各项不难给出答案．
由已知得f(n)＝
2n−3
2n+1f(n−1)(n≥2，n∈N*)
当n=2时，f(2)＝
4−3
4+1×f(1)＝
1
5×
1
3＝
1
15，
同理可得f(3)＝
1
35，f(4)＝
1
63---------------------（4分）
猜想f(n)＝
1
(2n−1)(2n+1)
(*)-------------------（6分）
下面用数学归纳法证明（*）成立
①当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立------（8分）
②假设n=k（k≥4，k∈N*）时，（*）成立，即f(k)＝
1
(2k−1)(2k+1)，
那么当n=k+1时，f(k+1)＝
2k−1
2k+3f(k)＝
2k−1
2k+3•
1
(2k−1)(2k+1)
即f(k+1)＝
1
[2(k+1)−1][2(k+1)+1]∴当n=k+1时，（*）也成立---------------（13分）
综合①②所述，对∀n∈N*，f(n)＝
1
(2n−1)(2n+1)成立．-----（14分）
点评：
本题考点： 归纳推理；数学归纳法．
考点点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
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