三次函数f（x）=x3-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．
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解题思路：由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x3．对x分类讨论：①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔
3b＜
x
3
x−1
恒成立⇔
3b＜[
x
3
x−1
]
min
，x∈（1，2]，利用导数求出其最小值即可．
由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x3．
①当x=1时，上式对于b∈R都成立；
②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔3b＜
x3
x−1恒成立，x∈（1，2]⇔3b＜[
x3
x−1]min，x∈（1，2]．
令g（x）=
x3
x−1，x∈（1，2]，则g′(x)＝
2x2(x−
3
2)
(x−1)2，由g′（x）=0，解得x＝
3
2．
列表如下：
由表格可知：当x=[3/2]时，g（x）取得极小值，也即最小值，g(
3
2)＝
(
3
2)3
3
2−1=[27/4]．
∴3b＜
27
4，解得b＜
9
4．
综上①②可知：b的取值范围是(−∞，
9
4)．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法、恒成立问题的等价转化是解题的关键．
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