如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连 接BD、DC．
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（1）证明：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴
BD =
DC ，
∴BD=DC．
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI．
∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAD=∠DBC．
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI=∠DIB，
∴△BDI为等腰三角形，
∴BD=ID，
∴BD=DC=DI．
（2）当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，
∴圆心O在△ABC外．
连接OB、OD、OC．
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴△BDC为正三角形．
∴OB是∠DBC的平分线，
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
∴BE=
1
2 BD，
又∵OB=10，
∴BD=2OBcos30°=2×10×
3
2 =10
3 ．
∴CE=BD•sin60°=10
3 ×
3
2 =15，
∴S △BDC=
1
2 BD•CE=
1
2 ×10
3 ×15=75
3 ．
答：△BDC的面积为75
3 cm 2．
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