长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x,y轴上移动,点P在直线AB上且满足
,
(Ⅰ)求点P的轨迹的方程;
(Ⅱ)记点P轨迹为曲线C,过点Q(2,1)任作直线l交曲线C于M,N两点,过M作斜率为
的直线l′交曲线C于另一点R。求证:直线NR与直线OQ的交点为定点(O为坐标原点),并求出该定点。
(Ⅰ)设
,
由
,
又由
,
即为点P的轨迹方程。
(Ⅱ)当l的斜率不存在时,直线l与曲线C相切,不合题意;
当l斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2)+1,即y=kx+1-2k,
联立方程
,
设
,
则
,
则MR的方程为
,
与曲线C的方程联列得
,
则
,
所以
,
直线NR的方程为
,
令
,
,
,
∴
,
从而
,
即直线NR与直线OQ交于定点
。
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