求旋转体的体积 心脏线r=a(1+cosθ)绕极轴旋转,解出结果不一样,求指导
1个回答

心脏线关于 x 轴（极轴）对称,只需一半的曲线即可,即可令 0≤θ≤π；

V=∫π(ρsinθ)²dx={0,2π/3}∫π(ρsinθ)²d(ρcosθ)-{2π/3,π}∫π(ρsinθ)²d(ρcosθ)

=π∫[a(1+cosθ)]²d[a(1+cosθ)cosθ]……{0,2π/3}+{π,2π/3,}

=-πa³∫(1+cosθ)²(sinθ+2cosθsinθ)dθ

=πa³∫[(1+cosθ)²(1+2cosθ)d(cosθ)

=πa³∫(1+u)²(1+2u)du……u=cosθ,-1≤u≤1；

=πa³{(1+u)³(1+2u)/3-[(1+u)²]²/6}|{-1/2,1}+{-1/2,-1}

=16πa³/3+2*πa³(1/64)

=(16+1/32)πa³；

相关问题