如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
1个回答
如图所示，
（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；
则AB=2
（其中0＜x＜30），
∴S=2x
=2
≤x 2+（900﹣x 2）=900，当且仅当x 2=900﹣x 2，
即x=15
时，S取最大值900；
所以，取BC=
cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm 2．
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的 面积为S，
则BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜
）；
∴S=AB●BC=2OB●BC=900sin2θ，且当sin2θ=1，
即θ=
时，S取最大值为900，此时BC=15
；
所以，取BC=15
时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm 2．
（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，
由AB=2
=2πr，得r=
，
∴V=πr 2h=
（900x﹣x 3），（其中0＜x＜30）；
由V′=
（900﹣3x 2）=0，得x=10
；
因此V=
（900x﹣x 3）在
上是增函数，在（10
，30）上是减函数；
∴当x=10
时，V的最大值为
，
即取BC=10
cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为
cm 3．
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，
则圆柱的底面半径为r=
，高h=30sinθ，（其中0＜θ＜
），
所以V=πr 2h=
cos2θ=
（sinθ﹣sin3θ），
设t=sinθ，则V=
（t﹣t 3），
由V′=
（1﹣3t 2）=0，得t=
，
因此V=
（t﹣t 3）在（0，
）上是增函数，在（
，1）上是减函数；
所以，当t=
时，即sinθ=
，此时BC=10
cm时，V有最大值，为
cm 3．
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