已知an=3^n+n(n∈R),设数列{bn}满足bn=n^2/(an-n),证明:bn
1个回答

证：

bn=n²/(an-n)=n²/(3ⁿ+n-n)=n²/3ⁿ

n>0 则n²>0,3ⁿ>0,bn恒>0

lgb(n+1)-lgbn

=lg[(n+1)²/3^(n+1)] -lg(n²/3ⁿ)

=[2lg(n+1)-(n+1)lg3]-(2lgn -nlg3)

=2[lg(n+1)-lgn] -lg3

=lg{[(n+1)/n]²} -lg3

令[(n+1)/n]²≥3

整理,得

n²-n≤1/2

(n-1/2)²≤3/4

(1-√3)/2≤n≤(√3+1)/2

又n为正整数,n=1,即仅当n=1时,b(n+1)>bn.也即数列第2项最大.

b2=2²/3²=4/9

bn≤b2

bn≤4/9,不等式成立.

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