如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），且经过原点O，连接OA、OB、AB

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），且经过原点O，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m，n（m＜n）分别是方程x2-2x-3=0的两根．

（1）m，n的值．

（2）求抛物线的解析式．

（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD，BD．当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标．

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1个回答

解题思路：（1）解方程即可得出m，n的值．

（2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（3）首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．

（1）解方程x2-2x-3=0，

得 x1=3，x2=-1．

∵m＜n，

∴m=-1，n=3．

（2）∵m=-1，n=3，

∴A（-1，-1），B（3，-3）．

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）．

∴

−1＝a−b

−3＝9a+3b，

解得：

a＝−

1

2

b＝

1

2，

∴抛物线的解析式为y=-[1/2]x2+[1/2]x．

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．

∴

−1＝−k+b

−3＝3k+b，

解得：

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类思想的应用．

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