二次型x^2+ay^2+z^2+2bxy+2xz+2yz可经过正交变换（x,y,z）T=P(u,v,w)T化为标准形v^

二次型x^2+ay^2+z^2+2bxy+2xz+2yz可经过正交变换（x,y,z）T=P(u,v,w)T化为标准形v^2+4w^2,求a,b的值和正交矩阵P

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由已知,A =

1 b 1

b a 1

1 1 1

与对角矩阵 B=diag(1,4,0) 正交相似.

所以A,B的行列式与迹相同.

-(b-1)^2 = 0

2+a = 5

所以 a=3,b=1.故 A=

1 1 1

1 3 1

1 1 1

(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(1,-1,1)^T

(A-4E)X=0 的基础解系为 a2=(1,2,1)^T

AX=0 的基础解系为 a3=(-1,0,1)^T

单位化得:b1,b2,b3

令P=(b1,b2,b3),则P为所求正交矩阵.

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