新课程改革以来直角坐标系中的变换题在中考命题中备受青睐,这也是本市2009年中考试题重要变化之一.试题在设计中往往是一种或几种变换交织在一起,但只要利用这些变换的不变性去研究函数等问题就会迎刃而解,下面以部分题目举例说明,供大家参考.
一、轴对称变换
例1
2009年天津市中考25题
已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4,如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
(Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标；
(Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B',设OB'=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围；
(Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B'',且使B''D‖OB,求此时点C的坐标.
分析：(Ⅰ)中可利用轴对称的性质得出CA=CB,在Rt△OAC中用勾股定理即可求出点C的坐标；
(Ⅱ)在Rt△B'OC中用勾股定理得出y关于x的函数解析式,并由0≤OB'≤2,求出y的取值范围.
(Ⅲ)易证CB''‖BA和Rt△COB''∽Rt△BOA从而得出OC=2OB'',结合(Ⅱ)的结论,求出点C的坐标.
解
(Ⅰ)如图2,折叠后点B与点A重合,则△ACD≌△BCD
设点C的坐标为(0,m)(m>0)
则BC=OB-OC=4-m
于是AC=BC=4-m
在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC2=OC2+OA2
即(4-m)2=m2+22,解得m=-
∴点C的坐标为(0,-)
(Ⅱ)如图3,折叠后点B落在OA边上的点为B',则△B'CD≌△BCD
由题设OB'=x,OC=y
则B'C=BC=OB-OC=4-y
在Rt△B'OC中,由勾股定理,得B'C2=OC2+OB'2
∴(4-y)2=y2+x2
即y=--x2+2
由点B'在边OA上,有0≤x≤2
∴解析式y=--x2+2(0≤x≤2)为所求
∵当0≤x≤2时,y随x的增大而减小
∴y的取值范围为-≤y≤2
(Ⅲ)如图4,折叠后点B落在OA边上的点为B'',且B''D‖OB,则∠OCB''=∠CB''D
又∵∠CBD=∠CB''D
∴∠OCB''=∠CBD,有CB''‖BA
∴Rt△COB''∽Rt△BOA
有-=-,得OC=2OB''
在Rt△B''OC中,
设OB''=x0(x0>0),则OC=2x0
由(Ⅱ)的结论,得2x0=--x02+2,解得x0=-8±4-
∵x0>0 ∴x0=-8+4-
∴点C的坐标为(0,8--16)
好了~
