已知一个直角三角形纸片oab,把他放坐标系P是OB上的动点,E是OA中点,ab中点为F(1,2)PE+PF的最小值.p点
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新课程改革以来直角坐标系中的变换题在中考命题中备受青睐,这也是本市2009年中考试题重要变化之一.试题在设计中往往是一种或几种变换交织在一起,但只要利用这些变换的不变性去研究函数等问题就会迎刃而解,下面以部分题目举例说明,供大家参考.

一、轴对称变换

例1

2009年天津市中考25题

已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4,如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.

(Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标;

(Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B',设OB'=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;

(Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B'',且使B''D‖OB,求此时点C的坐标.

分析:(Ⅰ)中可利用轴对称的性质得出CA=CB,在Rt△OAC中用勾股定理即可求出点C的坐标;

(Ⅱ)在Rt△B'OC中用勾股定理得出y关于x的函数解析式,并由0≤OB'≤2,求出y的取值范围.

(Ⅲ)易证CB''‖BA和Rt△COB''∽Rt△BOA从而得出OC=2OB'',结合(Ⅱ)的结论,求出点C的坐标.

(Ⅰ)如图2,折叠后点B与点A重合,则△ACD≌△BCD

设点C的坐标为(0,m)(m>0)

则BC=OB-OC=4-m

于是AC=BC=4-m

在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC2=OC2+OA2

即(4-m)2=m2+22,解得m=-

∴点C的坐标为(0,-)

(Ⅱ)如图3,折叠后点B落在OA边上的点为B',则△B'CD≌△BCD

由题设OB'=x,OC=y

则B'C=BC=OB-OC=4-y

在Rt△B'OC中,由勾股定理,得B'C2=OC2+OB'2

∴(4-y)2=y2+x2

即y=--x2+2

由点B'在边OA上,有0≤x≤2

∴解析式y=--x2+2(0≤x≤2)为所求

∵当0≤x≤2时,y随x的增大而减小

∴y的取值范围为-≤y≤2

(Ⅲ)如图4,折叠后点B落在OA边上的点为B'',且B''D‖OB,则∠OCB''=∠CB''D

又∵∠CBD=∠CB''D

∴∠OCB''=∠CBD,有CB''‖BA

∴Rt△COB''∽Rt△BOA

有-=-,得OC=2OB''

在Rt△B''OC中,

设OB''=x0(x0>0),则OC=2x0

由(Ⅱ)的结论,得2x0=--x02+2,解得x0=-8±4-

∵x0>0 ∴x0=-8+4-

∴点C的坐标为(0,8--16)

好了~