已知函数f（x）=x-1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）．
1个回答
解题思路：（1）由已知得
f
′
(x)＝1−
a
e
x
，由函数在点（0，f（0））处的切线垂直于y轴，得1-a=0，由此能求出a=1．
（2）当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）无极值；当a＞0时，由
f
′
(x)＝1−
a
e
x
=0，得ex=a，x=lna，f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
（1）∵f（x）=x-1+
a
ex，
∴f′(x)＝1−
a
ex，
∵函数在点（0，f（0））处的切线垂直于y轴，
∴1-a=0，解得a=1．
（2）①当a≤0时，f′（x）＞0，
f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，∴f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′(x)＝1−
a
ex=0，得ex=a，x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数的几何意义的应用，考查函数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
相关问题
