在如图所示的几何体中,三角形ABC是边长为2的正三角形,AE大于1,AE垂直平面ABC,平面BCD垂直平面ABC,BD等
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在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD．

（1）证明：AE∥平面BCD；

（2）证明：平面BDE⊥平面CDE；

（3）求该几何体的体积．是这题吗

（1）取BD的中点M,连接DM、AM,由已知BD=CD,可得：DM⊥BC,

又因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,

所以DM⊥平面ABC,

因为AE⊥平面ABC,所以AE∥DM,

又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,

所以AE∥平面BCD

（2）由（1）知AE∥DM,又AE=1,CM=1,

所以四边形DMAE是平行四边形,则有DE∥AM,

由（1）得DM⊥AM,又AM⊥BC,

∴AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,

又CD⊂平面BCD,所以DE⊥CD,

由已知BD⊥CD,DE∩BD=D,

∴CD⊥平面BDE,

因为CD⊂平面CDE,

所以平面BDE⊥平面CDE

（3）∵BC⊥DM,BC⊥AM,DM∩AM=M,

∴BC⊥平面AEDM,

AM=根号3,DM=1

易得四边形AEDM为矩形其面积S=根号3

故该几何体的体积V=VC-AEDM+VB-AEDM=1/3×S×BC＝2×根号3/3

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