解题思路：（1）令y=0即x2+kx+k-1=0，根据元二次方程根的判别式，△＞0，即可得出该抛物线与x轴有两个交点．
（2）根据一元二次方程x2+kx+k-1=0根与系数的关系，及k的取值范围可求出，两根之积的正负，判断出抛物线与x轴的交点分布情况．
（3）假设存在符合条件的直角三角形．根据抛物线的对称性可知AB=BC，于是点A，B不可能为Rt△ABC的直角顶点，只有点C可以为Rt△ABC的直角顶点，由抛物线的对称性和直角三角形的性质，可知AB的中点M恰是对称轴与x轴的交点，即CM的长为抛物线顶点的纵坐标的绝对值，根据抛物线y=x2+kx+k-1（-1＜k＜1），可用k表示出顶点坐标，根据一元二次方程x2+kx+k+1=0根与系数的关系可用k表示出两根的值，再根据直角三角形的性质及k的取值范围可求出k的值．
（1）证明：由一元二次方程x2+kx+k-1=0根的判别式，△=k2-4（k-1）=k2-4k+2=（k-2）2＞0，
故该抛物线与x轴有两个交点．
（2）设抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2，则x1，x2是方程x2+kx+k-1=0的两个实根，
由根与系数的关系得x1•x2=k-1，
∵-1＜k＜1，
∴x1x2＜0，
∴该抛物线与x轴的两个交点分别落在x轴的正负半轴上．
（3）存在符合条件的直角三角形．
证明：如图所示，由抛物线的对称性可知AB=BC，于是点A，B不可能为Rt△ABC的直角顶点，
∴只有点C可以为Rt△ABC的直角顶点，设点C为△ABC的直角顶点，由抛物线的对称性和
直角三角形的性质，可知AB的中点M恰是对称轴与x轴的交点，
∴CM的长为抛物线顶点的纵坐标的绝对值．
即CM=|-
(k−2)2
4|=
(k−2)2
4．
设A（x1，0）B（x2，0），（由（2）可知x1＜0＜x2），
则x1，x2是方程x2+kx+k+1=0的两个实根，
解得x1=-1，x2=1-k，
∴AB=x2-x1=1-k+1=2-k，
由直角三角形的性质得MC=[1/2]AB，
∴
(k−2)2
4=[2−k/2]，
∵-1＜k＜1，
则2-k＞0，
∴[2−k/2]=1，
解得k=0，
∴当k=0时存在以C为直角顶点的直角三角形，
故存在符合条件的直角三角形．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题比较复杂，考查的是一元二次方程与二次函数的关系，及直角三角形的性质，是中学阶段的重点也是难点．
