解题思路：（1）先求出f′（x）f′（x）max=f′（1）=0，从而f′（x）≤0，得函数f（x）在定义域内递减；
（2）
f(p+1)−f(q+1)
p−q
=
f(p+1)−f(q+1)
(p+1)−(q+1)
，表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，得f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立，得g（x）在（2，e）递减，在（e，3）递增，得2a≥-[ln2/2]，从而求出a的范围．
（1）当a=-[1/2]时，f（x）=-[1/2]x2+xlnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=-x+1+lnx，
令F（x）=f′x），F′（x）=[1−x/x]，
当0＜x＜1时，F′（x）＞0，f′（x）在（0，1）递增，
当x＞1时，F′（x）＜0，f′（x）在（1，+∞）递减，
∴f′（x）max=f′（1）=0，从而f′（x）≤0，
∴函数f（x）在定义域内递减；
（2）
f(p+1)−f(q+1)
p−q=
f(p+1)−f(q+1)
(p+1)−(q+1)，
表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
又1＜p＜2，1＜q＜2，2＜p+1＜3，2＜q+1＜3，
即函数f（x）的图象在区间（2，3）上的任意两点连线的斜率大于1，
即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立，
等价于当x∈（2，3）时，2a＞-[lnx/x]恒成立，
设g（x）=-[lnx/x]，x∈（2，3），则g′（x）=[lnx−1
x2，
若g′x）=
lnx−1
x2=0，则x=e，
当2＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）在（2，e）递减，
当e＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）在（e，3）递增，
又g（2）=-
ln2/2]＞g（3），
∴2a≥-[ln2/2]，
∴a≥-[ln2/4]．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，参数的应用，是一道综合题．
