(2012•道里区二模)为了学生的全面发展,某中学在高一学年是推行“合理作业”(合理作业是指:放学后学生每天完成作业的时间不超过两小时)活动.高一学年共有学生2000人,其中男生1200人,女生800人,为了调查2012年3月(按30天计算)学生“合理作业”的天数情况,通过分层抽样的方法抽取了40人作为样本,统计他们在该月30天内“合理作业”的天数,并将所得的数据分成以下六组:[0,5],(5,10],(10,15],…,(25,30],由此画出样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)求抽取的40人中男生、女生的人数;
(2)在抽取的40人中任取3人,设ξ为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
解题思路:(Ⅰ) 抽取的40人中男生人数=
40
2000
×1200
,抽取的40人中女生人数=
40
2000
×800
,由此能求出结果.
(Ⅱ)由抽取的40人中“合理作业”天数超过25天的人数=0.01×5×40=2人,知ξ的可能取值为0,1,2,分别求出P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2).由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ.
(Ⅰ) 抽取的40人中男生人数=[40/2000×1200=24人;
抽取的40人中女生人数=
40
2000×800=16人.
∴抽取的40人中男生人数为24人,女生人数为16人.…(4分)
(Ⅱ)∵抽取的40人中“合理作业”天数超过25天的人数=0.01×5×40=2人,
ξ为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数,
∴ξ的可能取值为0,1,2,
∴P(ξ=0)=
C338
C340]=[4218/4940],
P(ξ=1)=
C238
C12
C340=[703/4940],
P(ξ=2)=
C138
C22
C340=[19/4940].
∴ξ的分布列为:
ξ 0 1 2
P [4218/4940] [703/4940] [19/4940]…(8分)
E(ξ)=0×[4218/4940]+1×[703/4940]+2×[19/4940]=0.15.…(12分)
点评:
本题考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;等可能事件的概率.
考点点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,解题时要认真审题,仔细解答,注意频率分布直方图的合理运用.
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