已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点．若AB＝8 求直线l的方程.
2个回答

设抛物线y²=4x的准线为L,L与x轴交于点M

焦点为F,则点F坐标为(1,0)

过点A、B分别作直线L的垂线,垂足分别为A'、B'

再过点B作AA'的垂线,垂足为C,且BC交x轴与点D

由抛物线定义可知,

|FM|=2,|AA'|=|AF|,|BB'|=|FB|

不妨先设|FB|=a,|AF|＞|FB|（由于|AB|≠2p=4,故AB不是抛物线的通径,即|AF|≠|FB|）.

则|AF|=8-a

则|AC|=|AA'|-|BB'|=8-2a,|FD|=2-a

由于直角△BDF∽直角△BCA

因此|FD|/|AC|=|BF|/|BA|

解之得a=4-2√2（其中4+2√2＞8/2=4,舍去）

则sin角BFD=|FD|/|FB|=√2/2,即角BFD=45°

则kAB=tan角BFD=1

对称的,当|AF|＜|FB|时,角BFD=135°,kAB=-1

故所求直线AB的方程为

y=x+1或y=-x+1

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