已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．

已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．

（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；

（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；

（3）在（2）的条件下，令y=mx2+（3m+1）x+3，如果当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，求代数式4a2+12an+5n2+16n+8的值．

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解题思路：（1）分类讨论：当m=0时，原方程化为x+3=0，解得x=-3；当m≠0时，计算判别式得△=（3m-1）2，由于（3m-1）2≥0，则不论m为任何实数时总有两个实数根，所以不论m为任何实数时，方程 mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；

（2）先解方程mx2+（3m+1）x+3=0得到x1=-3，x2=

−

1

m

，由于方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，易得m=1；

（3）当m=1时得到y=x2+4x+3，当x1=a时，y1=a2+4a+3，当x2=a+n时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，则a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，变形得 n（2a+n+4）=0，由于n≠0，所以2a=-n-4，然后变形4a2+12an+5n2+16n+8得到（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8，再利用整体代入的方法计算．

（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=-3；当m≠0时，∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2．∵（3m-1）2≥0，∴不论m为任何实数时总有两个实数根，综上所述，不论m为任何实数时，方程&n...

点评：

本题考点： 根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．

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