已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为______．
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解题思路：龟文鸟迹题意知an＞0和公比q＞0，由通项公式代入式子：2a4+a3-2a2-a1=8化简，得到a1（2q+1）=
8
q
2
−1
，
同理化简2a8+a7，再把上式代入用q来表示且化简，设x=
1
q
2
并构造函数y=
1
q
4
−
1
q
6
=x2-x3，再求导、求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入2a8+a7的化简后式子求出最小值．
由题意知等比数列{an}中an＞0，则公比q＞0，
∵2a4+a3-2a2-a1=8，∴2a1•q3+a1•q2-2a1q-a1=8，
即a1（2q3+q2-2q-1）=8，则a1（2q+1）（q2-1）=8，
则a1（2q+1）=[8
q2−1，
∴2a8+a7=a1（2q+1）•q6=
8
q2−1×q6=
8
1
q4−
1
q6，
设x=
1
q2，则x＞0，设y=
1
q4−
1
q6=x2-x3，
则y′=2x-3x2=x（2-3x），令y=0得，x=0或
2/3]，
当0＜x＜[2/3]时，y′＞0；当x＞[2/3]时，y′＜0，
∴函数y=x2-x3在（0，[2/3]）上递增，在（[2/3]，+∞）上递减，
∴当x=[2/3]时，函数y取到最大值是(
2
3)2−(
2
3)3=[4/27]，
则[8
1
q4−
1
q6取到最小值是8×
27/4]=54，
即2a8+a7的最小值为54，
故答案为：54．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质．
考点点评： 本题考查了等比数列的通项公式，换元法、构造函数法，以及导数与函数单调性、最值的应用，属于数列与函数结合较难的题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．
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