006 年第2届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）
2ND IMC International Mathematics Invitation Contests (Singapore),2006
高中一年级试题
考试时间：90分钟,卷面总分：130分
姓名___________ 成绩___________
国籍___________ 学校___________
一、选择题：（每小题5分,共50分）
1．设+++,则（ ）.
1 12 23 34
2．若,其中0,0,0,0,且,那么在中最大的是（ ）.
3．若的定义域为,的定义域为,的定义域为,则（ ）.
4．函数与函数的图像关于（ ）.
直线 对称 点 对称
原点对称 轴对称
5．偶函数满足：,在区间与上分别递减和递增,则不等式0的解集为（ ）.
（-4,-1）（1,4）
（-1,0） （-1,0）（1,4）
6．在中,若,则该三角形一定是（ ）.
等腰三角形 等边三角形
直角三角形 钝角三角形
7．20位裁判给一位跳水运动员打分,每人给的分都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,该运动员的平均得分：若取一位小数,为9.4（用四舍五入取近似值）,若取两位小数,那么最小值应当是（ ）.
9.35 9.38 9.39 9.40
8．若,则的个数是（ ）.
0 1 2 3
9．已知集合={|},{|},若,则实数等于（ ）.
1 -1 1或-1 1或-1或0
10．在数列中,=(),
则= （ ）.
1 2 3 2006
二、填空题：（每小题5分,共50分）
11．在解一道填空题“在等差数列中,则 = ” 时,某同学将首项“9” 错看成了“6”,而且将公差“6” 错看成了“9”.在没有看错其他数字,也没有出现运算错误的情况下,他得到的答案为24.根据这些信息,推算正确答案应为 .
12．直角坐标平面内横、纵坐标都是整数的点称为格点.将半径为2的一个圆片平放在直角坐标平面内,让它随意移动,它盖住的格点最多有 个,最少有 个.
13．一个三位数与它的各位数字和的比值为（例如对于三位数462,若三位数的各位数字都不为0,则当取得最小值时,此三位数是 ；当取得最大值时,此三位数是 .
14．设是集合{|0,且}中所有的数从小到大地排成的数列,则 ,= .
15．在世界杯足球赛中,参赛的32个队平均分成8组,各组先进行单循环赛：组内4队每两队赛一次,每组积分领先的两队,共16个队分8对进入下一阶段的淘汰赛；获胜8强进行四分之一决赛；获胜4强进行半决赛；失败2队比赛争取季军,获胜2队争冠军,这样世界杯共要进行 场比赛.
16．若,则的值为 .
17．函数的反函数是,则不等式的解是 .
18．四个学生参加一次数学竞赛,每人预测获奖情况如下：
甲：如果乙获奖,那么我就没获奖.乙：甲没有获奖,丁也没有获奖.
丙：甲获奖或者乙获奖.丁：如果丙没有获奖,那么乙获奖.
竞赛结果实际有1人获奖,且4人的预测中恰有3人正确,则获奖者是 .
19．一艘轮船原定在10小时后从点到距80海里,在正东方向的点,现测得有南偏西30o,时速为海里的潮流,该轮船仍要在原定时间内到达点,那么船速应提高到 海里/时,并将航向定为 .
20．集合={|},已知是1915位数,则在中最高位是9的数共有 个.
三、解答题：（每题10分,共30分）
21．一位密码员设计了一种给自然数编码的方法：
（1）先将自然数表示成五进制数（逢五进一）；
（2）再将五进制中的5个数码与集合中的元素建立一个一一对应关系.
后来,他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成,.求被编成的数所对应的十进制数.
22．不等式0对于任意正整数恒成立,求实数的取值范围.
23．纸上写有这个正整数,第1步划去前面4个数,在的后面写上划去的4个数的和10；第2步再划去前面的4个数,在最后写上划去的4个数的和26；如此下去（即每步划去前面4个数,在最后面写上划去的4个数的和）.
（1）若最后只剩下一个数,则应满足的充要条件是什么?
（2）取,到最后只剩下一个数为止,所有写出的数（包括原来的）的总和是多少?
