已知:抛物线y=(k-1)x 2+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点.
(1)求k的取值范围;
(2)当k为整数,且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形,使得正方形的一边在x轴上,其对边的两个端点在抛物线上,试求出这个最大正方形的边长?
(1)△=4k 2-4(k-1)(k-2)=12k-8,
依题意,得
△=12k-8>0
k-1≠0 ,
∴k的取值范围是 k>
2
3 且k≠1,①
(2)解方程3x=kx-1,
得 x=
-1
3-k ,
∵方程3x=kx-1的解是负数,
∴3-k>0.
∴k<3,②(4分)
综合①②,可得k的取值范围是 k>
2
3 且k≠1,k<3,再由k为整数,可得k=2,
∴抛物线解析式为y=x 2+4x.
(3)如图,设最大正方形ABCD的边长为m,则B、C两点的纵坐标为-m,
且由对称性可知:B、C两点关于抛物线对称轴对称,
∵抛物线的对称轴为:x=-2,
∴点C的坐标为(-2+
m
2 ,-m),
∵C点在抛物线上,
∴ (-2+
m
2 ) 2 +4(-2+
m
2 )=-m .
整理,得m 2+4m-16=0,
∴ m=
-4±4
5
2 =-2±2
5 (舍负)
∴ m=2
5 -2 .
1年前
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