已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则m2m+2+n2n+1的最小值为（　　）

已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则

m

2

m+2

+

n

2

n+1

的最小值为（　　）

A. [1/4]

B. [4/15]

C. [1/8]

D. [1/3]

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2个回答

解题思路：由m≥0，n≥0，且m+n=1，可得n=1-m，（0≤m≤1）．代入

m

2

m+2

+

n

2

n+1

，再利用导数研究其单调性极值即可．

∵m≥0，n≥0，且m+n=1，∴n=1-m，（0≤m≤1）．

∴f（m）=

m2

m+2+

n2

n+1=

m2

m+2+

(1−m)2

2−m=[4/m+2+

1

2−m−2．

则f′（m）=

(6−m)(3m−2)

(m2−4)2]，

令f′（m）=0，0≤m≤1，解得m=[2/3]．

当0≤m＜

2

3时，f′（m）＜0；当[2/3＜m≤1时，f′（m）＞0．

∴当m=

2

3]时，f（m）取得极小值即最小值，f(

2

3)=[4

2/3+2+

1

2−

2

3−2=

1

4]．

故选：A．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；基本不等式．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．

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