为什么圆内四边形可以用海伦定理,为什么别的四边形不 - 已解决

为什么圆内四边形可以用海伦定理,为什么别的四边形不可以,具体解释吧

收藏：

点赞数：

评论数：

1个回答

设四边形ABCD的四边分别为a,b,c,d,对角线BD为e,在三角形ABD和BCD中分别使用海伦定理可得S四边形ABCD=S三角形ABD+S三角形BCD=√[p1(p1-a)(p1-d)(p1-e)] +√[p2(p2-b)(p2-c)(p2-e)](其中p1,p2分别是三角形ABD和BCD的半周长),同时在这两个三角形中使用余弦定理可得cos∠A=a^2+d^2-e^2/2ad,cos∠C=b^2+c^2-e^2/2bc.因为这个四边形是圆内接四边形,则有∠A+∠C=180度(圆内接四边形两对角互补),则cos∠A=-cos∠C,即a^2+d^2-e^2/2ad=-(b^2+c^2-e^2/2bc),由此解得e=√[(b^2+c^2)ad+(a^2+d^2)bc]/(ad+bc).(注意这个就是这个问题的原因所在,如果不是圆内接四边形则∠A+∠C≠180度,也就没有上面那些等式的成立.)最后将e的等式代入到前面的S四边形ABCD=S三角形ABD+S三角形BCD这个公式中消去e,再通过变形化简最终可得出圆内四边形海伦公式.只是这个变形化简的过程非常繁琐和复杂,在这里就不多说了,不过你可以取一些特殊的圆内接四边形（例如矩形）,或者将a,b,c,d赋值（注意要保证赋的值要能构成圆内接四边形）进行验证,两者应该是相等的.

点赞数：

评论数：

相关问题

为什么整圆不可以用R

点赞数：
0
回答数：
1
圆内接四边形对角和为什么是180度?

点赞数：
0
回答数：
2
海伦定理求面积能用在四边形上吗?

点赞数：
0
回答数：
1
圆内接四边形的判定定理有哪些?

点赞数：
0
回答数：
1
为什么对角和为180度的四边形内接于圆

点赞数：
0
回答数：
2
为什么圆内接四边形对角之和为180度

点赞数：
0
回答数：
7
圆的内接四边形有哪些性质?为什么?

点赞数：
0
回答数：
3
Δ＝0可以用吗?为什么,我用Δ＝ 0算a=0,苇达定理什么时候不可以用

点赞数：
0
回答数：
1
四边形可不可以用∠这个符号

点赞数：
0
回答数：
1
为什么圆内接四边形对角线交点必过圆心本来问题是求证圆内接平行四边形是矩形

点赞数：
0
回答数：
1

关注公众号

一起学习，一起涨知识