1的平方+2的平方+3的平方+…………N的平方=?

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方法1：n^2=[(n+1)^3-n^3]/3-n-1/3

两边都从1到n求和

左边为所求

右边=[(n+1)^3]/3-n*(n+1)/2-n/3

=n*(n+1)*(2*n+1)/6

或者

先取一辅助数列：记为sigma(n)=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1),将其配成这样：sigma(n)={1*2*(3- 0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3=n*(n+1)*(n+2)/3,又Sn+ n*(n+1)/2=sigma(n),

所以Sn=sigma(n)-n*(n+1)/2=n*(n+1)*(2n+1)/6.

方法2：数学归纳法

n=2的时候,1＝(1*2*3)/6=1

如果对n－1的时候成立,则有1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6

那么对于n的时候

1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＋n的平方

＝((n-1)n(2n-1))/6+n*n

＝n/6*(2n^2-3n+1+6n)

＝n/6*(n+1)(2n+1)

＝[(n+1-1)(n+1)(2(n+1)-1)]/6

所以对n的时候也成立

由以上,可以知道1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6

方法3：待定系数法

设1^2+2^2+...+n^2=a*n^3+b*n^2+c*n

将n=1、2、3分别代入,解方程组可得a=1/3

b=1/2

c=1/6

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