解微分方程 d^2y/dx^2=-k^2y 答案是y=Asin(kx)+Bcos(kx)
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对于齐次常系数微分方程

ay''+by'+cy=0

的解法为

先得到特征方程

ar^2+br+c=0

解得r之后如果是两个不等的根r1,r2,那么解写作

Aexp(r1 x)+Bexp(r2 x)

如果是等根r=r1=r2,解为

(A+Bt)exp(rt)

此处先把方程写成

y''+k^2y=0

即特征方程

r^2+k^2=0

r=正负k *i

i为虚数单位

所以

y=Aexp(k i x)+Bexp(-k i x)

再利用欧拉公式

exp(ix)=cosx+isinx

所以可以看出解

=(A+B)cos(kx)+i(A-B)sin(kx)

但是只要iy是解,那么y也是解,所以不考虑虚数的话,sin(kx)也是解,再把两个常数重新定义就得到

y=Asin(kx)+Bcos(kx)

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