如果一个自然数中至少有两个数字,且每个数字小于其左边的每一个数字,则称这个数字是下降
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排列组合问题.
构造方法如下:
对于 n 位数,可以从 9 中选 n 个数,然后从大到小排列所得到的数即为所求.
首先容易得到,上述方法构造出来的数一定是满足题意的.
下面再来说所有符合题意的数都能取到:
1.从高到低第 i 位数字一定是第 i 大的:
证:若比第 i 位大,则至小为第 i - 1 大,由于前面有 i - 1 个数,由题意有这数是第 i 大的,矛盾
若比第 i 位小,则至大为第 i + 1 大,由于前面有 i - 1 个数,由鸽笼原理以及题意,至少有一个数是两个数,这是不可能的,故不能比第 i 位小
由此得到关系式 a[1] > a[2] > ...> a[n],这 n 个数无疑是 0-9 的一个 n- 组合,由此,即有任意一个满足题意的数必定为上述方法取到.
上述便证明了方法的正确性.
所以总数为:
C(10,2) + C(10,3) + C(10,4) + C(10,5) + C(10,6) + C(10,7) + C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)
= 2^10 - 10 - 1 = 1013 个
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