已知函数f（x）=kx3-3x2+3
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解题思路：（1）当k=0时，函数f（x）=-3x2+3，由-3x2+3=x-1，得
x＝−
4
3
或x＝1
，从而求出封闭图形的面积；
（2）当k＞0时，求出函数的导函数为：f′（x）=3kx2-6x=3kx（x-[2/k]），分别解不等式求出单调区间即可．
（1）当k=0时，
函数f（x）=-3x2+3，
由-3x2+3=x-1，
得x＝−
4
3或x＝1，
所以所求封闭图形的面积
s=
∫1−
4
3(−3x2+3−x+1)dx＝
∫1−
4
3(−3x2−x+4)dx
=（-x3−
1
2x2+4x）
|1−
4
3
=[343/54]；
（2）当k＞0时，
f′（x）=3kx2-6x=3kx（x-[2/k]），
由f′（x）＞0，得x＜0或x＞
2
k，
由f′（x）＜0得0＜x＜
2
k，
∴f（x）的单调增区间为(−∞，0)与(
2
k，+∞)，单调减区间为(0，
2
k)．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；定积分在求面积中的应用．
考点点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道中档题．
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