中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率e,直线l 与双曲线C交于AB两点线段AB的中点M在第一项线,并且在抛物线y^
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因为点M在抛物线上,所以设点M(x,√2px),又因为到抛物线焦点(p/2,0)距离为p,所以有(x-p/2)^2+2px=p^2,所以x=p/2,x=-3p/2(舍去).设A(x1,y1),B(x2,y2),因为M为A,B中点,所以x1+x2=p,y1+y2=2p,所以(y1+y2)/(x1+x2)=2.又因为A,B是双曲线上的点,所以满足(x1/a)^2-(y1/b)^2=1,(x2/a)^2-(y2/b)^2=1,则(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2)=b^2/a^2.即(c^2-a^2)/a^2=2(y1-y2)/(x1-x2)=2k=e^2-1,所以k=(e^2-1)/2.