求下图中的极限
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先求极限：
lim [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]^x,x→0
=lim e^ln {[(a^(1/x)+b^(1/x))/2]^x}
=lim e^{x*ln [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]}
因为e^x关于连续
故原式=e^lim {x*ln [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]}
以下针对
lim {x*ln [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]}
=lim ln [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]} / (1/x)
明显该极限为0/0型,根据L'Hospital法则：
原式=lim {[2/((a^(1/x)+b^(1/x))]*(1/2)*[lna*a^(1/x)+lnb*b^(1/x)]*(-1/x^2)} / (-1/x^2)
=lim [lna*a^(1/x)+lnb*b^(1/x)] / [a^(1/x)+b^(1/x)]
=lim [lna*(a/b)^(1/x)+lnb] / [(a/b)^(1/x)+1],x→0
=(lna+lnb)/2
则,
lim [(a^(1/x)+b^(1/x))/2]^x=e^[(lna+lnb)/2]
再根据归结原则,
lim [(a^(1/n)+b^(1/n))/2]^n,n→0
=e^[(lna+lnb)/2]
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