在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C： x 2 16 + y 2 4 =1相交于A、B两点，且OA+OB
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（1）由方程组
x 2
16 +
y 2
4 =1
y=x+m 得：5x 2+8mx+（4m 2-16）=0，…（2分）
因为直线 l椭圆C有两个交点，所以△=（8m） 2-4×5×（4m 2-16）＞0…（4分），
解得- 2
5 ＜m＜ 2
5 …（5分），
又因为OA+OB＞AB，所以O∉l，m≠0，所以m的取值范围是（- 2
5 ，0）∪（0， 2
5 ）…（6分）．
（2）设A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2），由（1）得x 1+x 2=-
8m
5 ，x 1•x 2=
4 m 2 -16
5 ，
以AB为直径的圆经过点，所以∠AOB=90°…（8分），
QA •
OB =x 1•x 2+y 1•y 2=0…（9分），
由y 1=x 1+m，y 2=x 2+m，…（10分），
得
QA •
OB =x 1•x 2+y 1•y 2=2x 1•x 2+m（x 1+x 2）+m 2
=
8m 2 -32
5 -
8 m 2
5 +m 2=0…（12分），
解得m=±
4
10
5 …（13分），所以直线l的方程是：
y=x+
4
10
5 或y=x-
4
10
5 …（14分）．
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