已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{an}满足a1＝e，an+1an＝e(n∈N*)．
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解题思路：（1）由an+1an＝e，知{an}是等比数列，又a1=e，可得数列{an}的通项公式．（2）由f（an）=lnen-en+1=（n+1）-en，得f（a1）+f（a2）+…+f（an）的值．（3）由函数f（x），求得f'（x），由导数判断f（x）递减，从而得f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，所以：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），即证得．
（1）∵
an+1
an＝e，∴{an}是等比数列，又a1=e，∴数列{an}的通项公式为：an=en．
（2）由（1）知，f（an）=lnen-en+1=（n+1）-en，
∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）=[2+3+…+（n+1）]-（e+e2+…+en）
=
n2+3n
2−
e−en+1
1−e．
（3）由函数f（x）=lnx-x+1，得f′(x)＝
1
x−1，又x≥1，∴f'（x）≤0，
∴f（x）递减，∴f（x）≤f（1），
即f（x）≤0，也就是lnx≤x-1，
于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），
即ln(1•2•3•…•n)≤
n(n−1)
2，
故1•2•3…•n≤e
n(n−1)
2．
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；等比数列的通项公式．
考点点评： 本题考查了函数与数列的综合应用，解题时应认真分析，细心解答，以免出错．
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