可以有无穷多.
例如可构造如下集合.
A = ({0}×[0,1])∪({1}×[0,1])∪([0,1]×{0})∪([0,1]×{1}).
B = ∪{对n取遍正整数} {1/n}×[0,1].
A∪B就是一个紧连通子集,其补集有无穷多个连通分支.
大概意思就是A围成了一个单位正方形.
B在里面画了很多竖线,将正方形分割为很多矩形.
A∪B的(道路)连通性容易得到,因为所有竖线都与横线相连.
竖线的紧性可以由集合{0,1,1/2,1/3,1/4,...}的紧性与单位线段的紧性得到(紧集的笛卡尔积仍是紧集).
再并上两条横线,即得A∪B是紧的(有限个紧集的并仍是紧集).
最后,易见(1/(n+1),1/n)×(0,1)都是补集的连通分支,因此有无穷多个.
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