解题思路：为证明
∫
a
0
f(t)dt
≤
a
∫
1
0
f(t)dt
，仅需证明
1
a
∫
a
0
f(t)dt
≤
∫
1
0
f(t)dt
；从而，令F（x）=
1
x]
∫
x
0
f(t)dt
，利用已知条件证明F（x）在[0，1]上单调增加即可．
令F（x）=[1/x]
∫x0f(t)dt，则F（0）=0．
利用积分上限函数的性质可得，F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
F′（x）=−
1
x2
∫x0f(t)dt+
f(x)
x=[1/x(f(x)−
1
x
∫x0f(t)dt)．
因为f（x）在[0，1]上连续且单调增加，
所以
∫x0f(t)dt≤xf（x），
从而
1
x
∫x0f(t)dt≤f（x），
即有：F′（x）≥0．
从而，F（x）在[0，1]上单调增加，
故对于任意a∈[0，1]，均有F（a）≤F（1），
即：
1
a
∫a0f(t)dt≤
∫10f(t)dt，
即：
∫a0f(t)dt≤a
∫10f(t)dt．
点评：
本题考点： 利用单调性证明函数不等式；判断函数单调性，求单调区间；积分上限函数及其求导．
考点点评： 本题考查了函数单调性的判断、积分上限函数求导以及利用函数单调性证明不等式的方法．题目具有较强的综合性，难度适中，需要能够熟练运用上述三个知识点．
1年前
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