求解一道中学题圆台上底面半径r为5cm,下底面半径R为10cm,母线AB长为20cm,从点B绕过圆台侧面到AB中点M拉一
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将圆台恢复成一个圆锥并设圆锥的顶点为S
沿母线SB剪开,并将其侧面展开在同一个平面内．则绳子的最短长度就是线段MB1的长,绳子上的点和圆台上底圆周上的点之间的最短距离就是线段DE的长．
又△SAO1∽△SBO
∴SA∶SB＝AO1∶BO＝1∶2
∴A为SB的中点 ∴SA=AB＝20
∴SB1＝SB＝40
又AM＝MB＝10 ∴SM＝30
∴MB1＝50cm 即这条绳子最短为50cm
∴DB1＝32cm
∴SD2＝MD·DB1＝18×32＝2×9×2×16
∴SD=24cm
∴DE＝SD-SE＝24-20＝4cm
即,绳子上的点和圆台上底面圆周上的点的最短距离为4cm．
【说明】 这里涉及到两种最短距离概念,一种是曲面内两点间的最短距离,一种是曲面内两条曲线间的最短距离．
第一种最短距离是其平面展开图中两点间的线段线,第二种最短距离是其平面展开图中相应曲线间的最短距离,对于第二种最短距离是指两曲线上各取一点的线段的最小值．这种最小短离对于一些特殊的曲线可求,在中学阶段无一般求解方法．
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