已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝−23，满足Sn+1Sn+2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想
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解题思路：由题设可得 Sn-1Sn+2Sn+1=0，求得S1，S2，S3的值，猜测Sn =-[n+1/n+2]，n∈N+；用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设SK=-[K+1/K+2]，则当n=k+1时，由条件可得，
S
K+1
+
1
S
K+1
＝
S
K+1
−
S
K
−2
，解出 SK+1=-[K+2/K+3]，故n=k+1时，猜想仍然成立．
由题设得Sn2+2Sn+1-anSn=0，当n≥2（n∈N*）时，an=Sn-Sn-1，
代入上式，得Sn-1Sn+2Sn+1=0．（*）
S1=a1=-[2/3]，
∵Sn+[1
Sn=an-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S2+
1
S2=a2-2=S2-a1-2，
∴
1
S2=
2/3]-2，
∴S2=-[3/4]．
同理可求得 S3=-[4/5]，S4=-[5/6]．
猜想Sn =-[n+1/n+2]，n∈N+，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S1=a1=-[2/3]，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即SK=-[K+1/K+2]，则当n=k+1时，∵Sn+[1
Sn=an-2，∴SK+1+
1
SK+1＝ak+1−2，
∴SK+1+
1
SK+1＝SK+1−SK−2，∴
1
SK+1=
K+1/K+2]-2=[−K−3/K+2]，
∴SK+1=-[K+2/K+3]，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 Sn =-[n+1/n+2]，n∈N+成立．
点评：
本题考点： 归纳推理．
考点点评： 本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，Sn =-[n+1/n+2]，n∈N+，是解题的难点．
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